京大数学をⅠA の知識だけで解いてみた‼

こんにちは！たかやです

この記事を書いているのは

9月30日の日曜日

明日から大学の授業が始まります(泣)

二か月続いた夏休みの最終日…

天気は夕方から台風24号のせいで

大雨の予報

電車も止まる可能性があるので

お出かけにも行けません

そんなわけで、朝からBOOK OFF

に行ってきました！

小説や漫画を少し見て

店内をプラプラ歩いてみると

本棚にひときわ目立つ

分厚くて真っ赤な本があるのを

見つけました

背表紙には大きな文字

京都大学【理系】

三年前まではよく触っていた

赤本を久しぶりに手に取ってみました

久しぶりに解いてみるか

そう思いある1問の問題文と答えを

携帯に軽くメモをして店を出ました

メモした問題は2013年度入試

数学の大問１

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを1：1に

内分する点をE、辺BCを2：1に内分する点をF

辺CDを内分する点をGとする。

線分CEと線分FGの交点をP

線分APを延長した直線と

辺BCの交点をQとするとき

AP：PQを求めよ

なるほど、図形はこんな感じか

ベクトルを使えば解けそうだ

でも平行四辺形だし相似が使えそう

ⅠAだけの知識で解いてみるか！

そう思い問題を解き始めました

AP：PQを求めたいから…

AP:PQを使える相似を作るために

FGとCEを伸ばしてADの延長線

との交点をそれぞれH,Iと置いてみた

三角形PIHと三角形PCF

三角形PAHと三角形PCF

三角形PIAと三角形PQF

がそれぞれ相似の関係にある

この相似の関係を使うと

AP:PQ＝IP:PC＝HP:PF＝IH:CF・・①

こんな関係式が出てくる

IAとDHの長さが分かれば解ける

しかも必要な数値は全部問題文にありそうだぞ！

まずはDHから求めよう

点Gは辺CDを3：1に内分する点だから

DG:GC＝1：3

三角形GDHと三角形GCFは相似だから

DH:CF＝1：3　　　　　　　・・・②

ALの長さをℓとすると

点Fは辺BCを2：1に内分する点だから

CF＝1/3ℓ　②を使うと

DH＝1/9ℓ　になる

次はIAの長さだ！

三角形PIAと三角形PCQからだと

辺の比は求められないな…

おっと三角形IAEと三角形IDCも相似だ

しかも辺AEの長さは辺DCの半分

これを使えばIA＝ℓ　じゃないか！

欲しい辺の長さが揃った

IA＝ℓ、AD＝ℓ、DH＝1/9ℓ

全部足すとIH＝19/9ℓ

そしてFC＝1/3ℓ

①の比を使うと

AP:PQ=IH:CF=19/9:1/3=19:3

よって求める比は19：3

めちゃくちゃ簡単やん‼

あの京大の問題とは思えない

高校1年生でもあっさり解けそうだ

どうですか？

僕はこの問題をたまたま見つけて

解いただけですが

あの、京都大学でもこういった

レベルの問題は出るんです！

変に難しく考えないのも

必要な力なのかもしれませんね！

では、また